Sprawdzian z geometrii – podobieństwo trójkątów, matematyka

Prezentujemy kompleksowe opracowanie edukacyjne, które zostało starannie przygotowane, aby służyć jako źródło wiedzy i narzędzie edukacyjne dla uczniów I klasy liceum i technikum. Skupiając się na tematyce podobieństwa trójkątów, nasz materiał oferuje dogłębną analizę i wyjaśnienia kluczowych koncepcji, co ułatwia zrozumienie i przyswojenie materiału. Opracowanie zostało zaprojektowane tak, aby wspierać w  przygotowaniach do nadchodzących sprawdzianów z matematyki, oferując zarówno teoretyczne podstawy, jak i praktyczne przykłady.

Oferowana przez nas prezentacja z podobieństwa trójkątów z zakresu wiedzy na poziomie I klasy liceum jak również technikum zawiera szczegółowe informacje dotyczące m. in.: cechy podobieństwa trójkątów: BBB, KKK, KK, BKB, podobieństwo trójkątów prostokątnych, podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa, pomiary.

Dodatkowo w oferowanym materiale znajdują się przykładowe zadania wraz z rozwiązaniem, np.

W jednym trójkącie prostokątnym kąt ostry ma 17 stopni w drugim 73 stopnie. Czy trójkąty te są podobne?

Suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa 90 stopni:

17 + 73 = 90 stopni

Stąd wynika, że trójkąty te są podobne.

oraz test, dzięki któremu możesz sprawdzić zdobytą wiedzę.

 

7

Liceum, technikum – klasa I

Geometria – podobieństwo trójkątów

Cechy podobieństwa trójkątów:

  • Bok bok bok – BBB

Jeżeli boki trójkątów są proporcjonalne, to trójkąty są podobne, np.

Większy trójkąt ma boki dwa razy większe niż mniejszy. Na mocy cechy BBB wynika, że trójkąty te są podobne.

  • Kąt kąt kąt – KKK

Jeżeli kąty jednego trójkąta są równe odpowiednim kątom drugiego trójkąta, to wówczas trójkąty te są podobne, np.

W trójkącie dwa kąty wyznaczają trzeci, dlatego też cechę tą można sformułować mówiąc o dwóch kątach zamiast trzech. Wówczas cechę tą oznaczamy KK.

  • Przykład 1

Dany jest trójkąt o kątach:

Sprawdź czy jest on podobny do trójkąta, którego dwa kąty są równe:

Rozwiązanie:

W trójkącie o kątach 45 i 68 stopniach trzeci kąt ma miarę:

180 – ( 45 + 68 ) = 67 stopni

a) W obu tych trójkątach jest kąt 68 i 67 stopni. Ze względu na to, że dwa kąty jednego trójkąta są równe kątom drugiego trójkąta to na mocy cech KK trójkąty te są podobne.

b) W jednym trójkącie jest kąt 66 stopni a w drugim nie ma, dlatego też trójkąty te nie są podobne.

  • Przykład 2

Wiedząc, że przedstawione poniżej trójkąty są podobne oblicz zaznaczone niewiadome.

Rozwiązanie:

Znając dwa kąty trójkąta można obliczyć trzeci:

180 – ( 59 + 86 ) = 35 stopni

Zatem z cechy KKK wynika, że:

Z twierdzenia Talesa układamy proporcję za pomocą, której obliczymy niewiadomą x:

  1. Cecha podobieństwa trójkątów bok kąt bok – BKB

Jeżeli kąt jednego trójkąta jest równy jakiemuś kątowi drugiego trójkąta a boki zawarte w ramionach tego kąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta to trójkąty te są podobne, np.

Zaznaczony kąt jest w obu trójkątach taki sam. Odpowiadające boki przyległe do wyróżnionego kąta są proporcjonalne, więc na mocy cechy, BKB trójkąty te są podobne.

  1. Odcinek, który łączy środki dwóch boków trójkąta jest równy, co do długości połowie trzeciego boku i jest do niego równoległy, np.

Przyjmijmy, że E jest środkiem boku BC, natomiast D środkiem boku AC. Zatem trójkąt ACB oraz DCE mają wspólny kąt przy wierzchołku C oraz:

Na mocy podobieństwa BKB trójkąt ACB i DCE są podobne a skalą ich podobieństwa jest k = ½ Mamy, więc DE = ½ AB. Z podobieństwa tych trójkątów wynika również zależność:

Kąt CDE = kątowi CAB, co oznacza, że odcinki DE oraz AB są równoległe.

  1. Cecha podobieństwa trójkątów prostokątnych, KKK

Jeżeli dwa trójkąty prostokątne mają taki sam kąt ostry to są podobne.

  1. Przykład 3

Sprawdź czy trójkąty prostokątne, których kąty ostre są równe 35 i 55 stopni są podobne.

Rozwiązanie:

W trójkącie prostokątnym suma kątów ostrych jest równa 90 stopni. Zatem gdy jeden z kątów ma 35 stopni natomiast drugi 55 stopni. Tak, więc obydwa trójkąty mają takie same kąty ostre stąd wynik, że są podobne.

90 stopni = 35 + 55 stopni

  1. Dwa prostokąty są podobne, gdy stosunek ich dłuższych boków do krótszych jest w obu taki sam.
  1. Jeżeli w dwóch trójkątach prostokątnych stosunek dłuższej przyprostokątnej do krótszej jest taki sam to są one podobne.
  1. Przykład 4

W jednym trójkącie prostokątnym kąt ostry ma 17 stopni w drugim 73 stopnie. Czy trójkąty te są podobne?

Suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa 90 stopni:

17 + 73 = 90 stopni

Stąd wynika, że trójkąty te są podobne.

  1. Przykład 5

Sprawdź czy trójkąty prostokątne o przyprostokątnych 4 i 5 oraz przyprostokątnych 12 i 15 są podobne.

Rozwiązanie:

Aby sprawdzić czy trójkąty prostokątne są podobne należy sprawdzić czy stosunek dłuższych przyprostokątnych do krótszych jest w obu trójkątach taki sam:

Trójkąty te są podobne, ponieważ stosunek przyprostokątnych jest równy 4/5.

  1. Wysokość dzieli trójkąt prostokątny na dwa trójkąty podobne.
  1. Przykład 6

C

A D B

Wysokość trójkąta prostokątnego została poprowadzona na przeciwprostokątną AB. Aby wykazać, że trójkąt ACD i CBA są podobne należy pokazać, że każdy z nich jest podobny do trójkąta ACB. Ze względu na to, że kąt ostry CAD jest wspólnym kątem trójkąta prostokątnego ACD i ABC, więc trójkąty te są podobne.

  1. Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.

  1. Przykład 7

C

b a

A x D y B

Trójkąty ACD i CBA są podobne do trójkąta ABC. Dzięki podobieństwu otrzymujemy proporcje:

Po przekształceniu otrzymujemy równości:

Natomiast po dodaniu stronami otrzymujemy:

  1. Wysokość trójkąta prostokątnego dzieli go na dwa podobne trójkąty

C

D

A B

  1. Twierdzenie Pitagorasa

Suma kwadratów przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, jest równa kwadratowi jego przeciwprostokątnej.

  1. Przykład 8

Aby wykazać podobieństwo trójkąta ACD i CBD należy pokazać, że są one podobne do trójkąta ABC

C

D

A B

Trójkąty te są podobne do trójkąta ABC, co przedstawia proporcja:

C

x c

D

b

y

A a B

Po przekształceniu otrzymujemy równość:

Równania te dodajemy stronami:

  1. Do praktycznych zastosowań podobieństwa zaliczyć możemy pomiary odległości czy też wysokości obiektów, które są niedostępne.
  1. Przykład 9

Człowiek mający 160cm wzrostu rzuca cień długości 120cm. Natomiast drzewo rzuca w tym samym czasie cień równy 4m. Oblicz wysokość drzewa.

Ze względu na to, że promienie słoneczne biegną równolegle, dlatego też trójkąt OAB oraz trójkąt ODE są podobne. Stosunek odpowiadających boków trójkąta jest taki sam. Zachodzi, więc proporcja:

Odp. Drzewo ma wysokość

Test

Geometria – podobieństwo trójkątów

Zad.1

Jakie wyróżniamy cechy podobieństwa trójkątów:

  1. BBB
  2. BKB
  3. KBK
  4. KK

Zad. 2

Wiedząc, że przedstawione poniżej trójkąty są podobne oblicz miary zaznaczonych kątów.

Zad.3

Podaj cechę podobieństwa trójkątów na mocy BKB

Zad. 4

Sprawdź czy podobne są trójkąty prostokątne o przyprostokątnych 4 i 5 oraz przyprostokątnych 12 i 15.

Zad. 5

Oblicz wysokość drzewa wiedząc, że jego cień jest równy 6m, natomiast człowiek mierzący 1,8m rzuca cień 1,4m.

Zad. 6

Zaznacz, które trójkąty są podobne:

  1. 1 i 3
  2. 2 i 3
  3. 1 i 4
  4. 4 i 2

Zad. 7

Długość odcinka zaznaczonego kolorem można obliczyć znając długości:

  1. a, b
  2. a, b, e
  3. a, b, c
  4. b, d, e

Zad.8

Wiedząc, że wysokość trójkąta prostokątnego dzieli go na dwa trójkąty podobne, podaj która proporcja jest poprawna:

Odpowiedzi

Geometria – podobieństwo trójkątów

Zad. 1

Odp. A, B i D

Zad. 2

Odp.

Zad. 3

Odp. Jeżeli kąt jednego trójkąta jest równy jakiemuś kątowi drugiego trójkąta a boki zawarte w ramionach tego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta to trójkąty te są podobne.

Zad. 4

Odp. Aby sprawdzić czy trójkąty te są podobne sprawdzamy czy stosunek dłuższej przyprostokątnej do krótszej jest taki sam:

Trójkąty te są podobne.

Zad. 5

Odp.

Zad. 6

Odp. C

Zad. 7

Odp. D

Zad. 8

Odp. A, B, C, i D

Liczba wizyt: 10